Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

y² – xy = 12,

x² – xy = – 3.

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

y(y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x ¹ 0)x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3, откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

- 3x² = – 3, X₁ = 1; X₂ = – 1, тогда Y₁ = 4; Y₂ = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м² .

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х² = 15 или

х² - 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение:D = (-8)² - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,

Х_1,2 = (8 ±Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Значит, х₁ = 5, х₂ = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у₁ = 3, а у₂ = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х² - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z² - 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример 6.27. Решим систему уравнений

2х + у = 11,