Реферат: Рациональные уравнения и неравенства
a0 xn + a1 xn – 1 + … + an = a0 (x – x1 )(x – x2 )…(x – xn ).
Разделим обе части этого равенства на a0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство
Xn + (a1 / a0 )xn – 1 + … + (an / a0 ) =
= xn – (x1 + x2 + … +xn )xn – 1 + (x1 x2 +x1 x3 + … +xn-1 xn )xn – 2 +
+ … + (-1)n x1 x2 …xn .
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства
x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0 ,
x1 x2 + x1 x3 + … + xn – 1 xn = a2 / a0 ,
…………………….
x1 x2 × … ×xn = (-1)n an / a0 .
Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.
Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1 , x2 и x3 . Тогда по формулам Виета имеем
s1 = x1 + x2 +x3 = 3,
s2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 7,
s3 = x1 x2 x3 = – 5.
Корни искомого уравнения обозначим буквами y1 , y2 , y3 , а его коэффициенты — буквами b1 , b2 , b3 , положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x1 2 , y2 = x2 2 , y3 = x3 2 и поэтому
b1 = – (y1 + y2 + y3 ) = – (x1 2 + x2 2 + x3 2 ),
b2 = y1 y2 + y1 y3 + y2 y3 = x1 2 x2 2 + x1 2 x3 2 + x2 2 x3 2 ,
b3 = – y1 y2 y3 = – x1 2 x2 2 x3 2 .
Но имеем
x1 2 + x2 2 + x3 2 = (x1 + x2 +x3 )2 – 2(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) = s1 2 - 2s2 = 32 – 2×7 = – 5,
x1 2 x2 2 + x1 2 x3 2 + x2 2 x3 2 = (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )2 – 2x1 x2 x3 (x1 + x2 +x3 )= s2 2 – 2s1 s3 = = 72 – 2×3×(– 5)= 79,
x1 2 x2 2 x3 2 = (x1 x2 x3 )2 = s3 2 = 25.
Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид
y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Системы уравнений второй степени.
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
 |