Реферат: Рациональные уравнения и неравенства
т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.
Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.
Пример 3.13. Решить уравнение x6 – 5x3 + 4 = 0
Решение.Обозначим y = x3 , тогда исходное уравнение принимает вид
y2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности
уравнений:x3 = 1 или x3 = 4, т. е. X1 = 1 или X2 = 3 Ö4
Ответ: 1; 3 Ö4.
Пример 3.14. Решить уравнение (x3 – 27) / (x – 3) = 27
Решение.Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
(x – 3)(x2 + 3x + 9) / (x – 3) = 27 . Отсюда:
x2 + 3 x + 9 = 27,
x – 3 ¹ 0;
 |
x2 + 3 x – 18 = 0,
x ¹ 3.
Квадратное уравнение x2 + 3 x – 18 = 0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6
(X1 не входит в область допустимых значений).
Ответ: -6
Пример 3. 15 . Решить уравнение
(x2 + x –5) / x + (3x) / (x2 + x – 5) = 4.
Решение.Обозначим y= (x2 + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.
Преобразуем его:y + 3 / y – 4 = 0, (y2 – 4y + 3) / y = 0, отсюда
y2 – 4y + 3 = 0,
y ¹ 0
Квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 имеет корни Y1 = 1; Y2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений
(x2 + x – 5) / x = 1 или (x2 + x – 5) / x = 3.
Преобразуем их: