Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b² – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X₁ =(-b + ÖD) / (2a); X₂ = (-b - ÖD) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X1,2 = ±Ö(-c / a )

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x² + px + q = 0.

Теорема Виета.

Мы вывели тождество

x² + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

где X₁ и X₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.

x² + (b / a)x + (c / a) = x² – x₁ x – x₂ x + x₁ x₂ = x² – (x₁ + x₂ )x +x₁ x₂ .

Отсюда следует, что X₁ + X₂ = – b / a и X₁ X₂ = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X,взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X² ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X² .

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства

X₁ + X₂ = – b / a и X₁ X₂ = c / a,

то числа X₁ и X₂ являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Замечание.Формулы X₁ + X₂ = – b / a и X₁ X₂ = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень X₁ кратности 2, если положить в указанных формулах X₂ = X₁ . Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax² + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения

(1 / X₁ ) + (1/ X₂ )= ( X₁ + X₂ )/ X₁ X₂ ;

X₁ ² + X₂ ² = (X₁ + X₂ )² – 2 X₁ X₂ ;

X₁ / X₂ + X₂ / X₁ = (X₁ ² + X₂ ² ) / X₁ X₂ = ((X₁ + X₂ )² – 2X₁ X₂ ) / X₁ X₂ ;

X₁ ³ + X₂ ³ = (X₁ + X₂ )(X₁ ² – X₁ X₂ + X₂ ² ) =

= (X₁ + X₂ )((X₁ + X₂ )² – 3X₁ X₂ ).