Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x³ + 3x² – x – 1 = 0 следует:

2x³ + 3x² – x – 1 = 2x³ + x² +2x² + x – 2x – 1 = 2x² (x + 0,5) + 2x(x + 0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x² + 2x – 2) = 0.

x₁ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 ±Ö5) / 2.

Возвратные уравнения.

Уравнение вида

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … +a₁ x + a₀ = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

a_{n – 1} = a_k , при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

— разделить левую и правую части уравнения на x² . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;

— группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x² + 1 / x² ) + b(x + 1 / x) + c = 0;

— ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t² = x² + 2 + 1 / x² , то есть x² + 1 / x² = t² – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at² + bt + c – 2a = 0;

— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_n