Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

x² – 5 = 0,

x ¹ 0

или

x² – 2x – 5 = 0,

x ¹ 0;

X₁ = Ö5; X₂ = – Ö5 или X₃ = 1 + Ö6; X₄ = 1 – Ö6

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ:Ö5; – Ö5; 1 + Ö6; 1 – Ö6 .

Пример 3. 16 . Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение.Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x² + 5x + 6)(x² + 5x) = 72.

Обозначим y = x² + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или

y² + 6y – 72 = 0.

Корни этого уравнения:Y₁ = 6; Y₂ = – 12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x² + 5x = 6 или x² + 5x = – 12.

Первое уравнение имеет корни X₁ = 1; X₂ = – 6. Второе уравнение корней не имеет, так как D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

Пример 3.1 7 . Решить уравнение 4x² + 12x + 12 / x + 4 / x² = 47.

Решение.Сгруппируем слагаемые:4(x² + 1 / (x² )) + 12(x + 1 / x) = 47.

Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что

y² = (x +1 / x)² = x² +2 + 1 / (x² ),

отсюда x² + 1 / (x² ) = y² – 2. С учётом этого получаем уравнение

4(y² – 2) + 12y = 47, или 4y² + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;