Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

x² + (b / a) + (c / a) = (x² + 2(b / 2a)x + (b / 2a)² ) – (b / 2a)² + (c / a) =

= (x + (b / 2a))² – (b² ) / (4a² ) + (c / a) = (x + (b / 2a))² – ((b² – 4ac) / (4a² )).

Для краткости обозначим выражение (b² – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a² )).

Возможны три случая:

1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD)² . Тогда

D / (4a² ) = (ÖD)² / (2a)² = (ÖD / 2a)² , потому тождество принимает вид

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (ÖD / 2a)² .

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – (( -b + ÖD) / 2a)) (x – (( – b – ÖD) / 2a)).

Теорема : Если выполняется тождество

ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x – x₂ ),

то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при X₁ ¹ X₂ имеет два корня X₁ и X₂ , а при X₁ = X₂ — лишь один корень X₁ .

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x² + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax² + bx + c = 0, имеет два корня:

X₁ =(-b + Ö D) / 2a; X₂ = (-b - Ö D) / 2a.

Таким образом x² + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b² – 4ac = D.

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a² ))

принимает вид x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² .

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X₁ = – b / 2a

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a² ))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x² + (b / a)x + (c / a) = 0