Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение

5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,

Х_1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х₁ = 6,8; х₂ = 2, Þ у₁ = 11 - 2×6,8 = -2,6; у₂ = 11 - 2×2 = 7.

Ответ: х₁ = 6,8; у₁ = -2,6; х₂ = 2; у₂ = 7.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х² + 2х) - 3 / (х² + 2х - 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у² - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,

откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = -3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = -4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Пример 7.29. Решим систему уравнений

2 / х + 3 / у = 8,

5 / х - 2 / у = 1.

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид

2U + 3V = 8,

5U - 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x² – 11x + 28)(x² – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x² – 11x + 28 = t, тогдаt(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t₁ = – 42; t₂ = 40. Поэтому

x² – 11x + 28 = – 42; x² – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x_1,2 ÎÆ.