Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

Пример 7.34.

x⁴ – 2x³ + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x² :

x⁴ – 2x³ + x² – x² + x – 0,75 = 0, т.е.

(x² – x)² – (x² – x) – 0,75 = 0.

Пусть x² – x = t, тогда t² – t – 0,75 = 0, x₁ = – 0,5; x₂ = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x² – x = – 0,5; x² – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x ÎÆ.

x² – x = 1,5; x² – x – 1,5 = 0; x_1,2 = (1 ±Ö7) / 2.

Ответ: x_1,2 = (1 ±Ö7) / 2.

Пример 7.35.

x² + 81x² / (9 + x)² = 40.

Решение. Воспользуемся формулой:a² + b² = (a – b)² + 2ab ((a - b)² = a² - 2ab + b² ÞÞ a² + b² = (a - b)² + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))² + 2x×9x / (9 + x) = 40, или

(x² / (9 + x))² + 18x² / (9 + x) = 40.

Пусть:(x² / (9 + x)) = t. Тогда t² + 18t – 40 = 0, t₁ = – 20; t₂ = 2. Получаем два уравнения:

(x² / (9 + x)) = 2; x² – 2x – 18 = 0; x_1,2 = 1 ±Ö19,

(x² / (9 + x)) = – 20; x² + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x ÎÆ.

Ответ: x_1,2 = 1 ±Ö19.

Однородные уравнения.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

8х² - 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у² . Получится уравнение

8х² / у² - 6ху / у² + у² / у² = 0 или 8х² / у² - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U² - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2. Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö(5 / 17), x₄ = -Ö(5 / 17); соответственно y₃ = 4Ö(5 / 17), y₄ = - 4Ö(5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x² , 6xy, y² ), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.