Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

Ответ: x₁ = 12; x₂ = – 1.

Пример 7.31.

2x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим

2x² + 3x – 16 +3 / x + 2 / x² = 0, т.е.

2(x² + 1 / x² ) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x² + 2 + 1 / x² = t² , т.е. x² + 1 / x² = t² – 2, получаем 2(t² – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t² + 3t – 20 = 0, t₁ = – 4; t₂ = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x² + 4x + 1 = 0; x_1,2 = –2 ±Ö3,

x + 1 / x = 2,5; 2x² – 5x + 2 = 0; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Ответ: x_1,2 = –2 ±Ö3; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16, т.е.

t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t⁴ + 12t² – 14 = 0, или t⁴ + 6t² – 7 = 0. Положим t² = z ³ 0,тогда

z² +6z – 7 = 0, z₁ = – 7; z₂ = 1.

С учётом t² = z ³ 0 отбрасываем z₁ . Итак, z = 1, т.е. t² = 1, отсюда t₁ = –1; t₂ = 1. Следовательно, x₁ = – 1 – 4 = – 5 и x₂ = 1 – 4 = – 3.

Ответ: x₁ = – 5 и x₂ = – 3.

Пример 7.33.

13x / (2x² + x +3) + 2x / (2x² – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t² – 24t – 30, т.е.

6t² – 39t + 33 = 0, т.е. 2t² – 13t + 11 = 0,

t₁ = 1;t₂ = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x² – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x ÎÆ.

2x + 3 / x = 5,5; 4x² – 11x + 6 = 0; x₁ = 2; x₂ = 0,75.