Реферат: Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

§ 2. Пространство N – периодических комплекснозначных векторов

Зафиксируем натуральное число N. Определяем пространство следующим образом

.

Введём в две операции – операция сложения двух векторов и операция умножения вектора на комплексное число:

В результате получим линейное комплексное пространство.

Введём символ , у которого, когда делится на , и при остальных Очевидно, что

Лемма 1. Для справедливо следующее равенство

(1)

Доказательство. Так как в обеих частях (1) стоят N–периодические векторы, проверим равенство при Поскольку при выполняются неравенства

то при Отсюда имеем

Таким образом, лемма доказана.

Формула (1) даёт аналитическое представление вектора х по его значениям на основном периоде

9

Рассмотрим следующую систему сдвигов вектора

(2)

Покажем, что эта система линейно независима на Z. Действительно, пусть

при

Как отмечалось, левая часть этого равенства равна так что при всех

Поэтому согласно лемме 1 любой вектор х разлагается по линейно независимой системе (2). Таким образом, показали, что система (2) является базисом пространства . При этом размерность пространства равна N, т.е.

Следующее вспомогательное утверждение будем часто использовать в дальнейшем.

Лемма 2. Для любого вектора при всех справедливо равенство

(3)

Доказательство. Пусть где - целая часть дроби, а - остаток от деления на . Воспользуемся периодичностью вектора и тем, что Тогда получим