Реферат: Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

Формулу (5) можно записать компактно так:

Введём обозначение . Тогда формула (5) для ДПФ примет вид

(6)

Из равенства (6) видно, что вектор разлагается по системе векторов

(7)

Коэффициентами в этом разложении являются компоненты спектра.

Лемма 2. Для любого целого k имеем .

Доказательство. Действительно,

Лемма доказана.

Лемма 3. Система векторов (7) ортогональна. При этом при всех

Доказательство. Имеем при

Отсюда очевидным образом следует требуемое.

15

Лемма 4. Система линейно независима.

Доказательство. Чтобы показать линейную независимость данной системы, надо проверить равенство

тогда и только тогда, когда

Возьмём скалярное произведение и покажем справедливость данного равенства:

Т.к. векторы ортогональные, то

при

Нетрудно видеть, что . Так как , то

Лемма доказана.

Установлено, что система (7) образует ортогональный базис в пространстве Этот базис называется экспоненциальным.

Возьмём вектор

Тогда

- разложение вектора в базисе (7).