Реферат: Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

. (10)

В случае комплексного пространства имеем

. (11)

Доказательство.

Пусть - матрица преобразования Фурье.

Тогда

.

18

Рассмотрим скалярное произведение

- левая часть нашего

равенства.

Учитывая, что

рассмотрим

- правая часть

нашего равенства.

Правая часть равенства совпала с левой частью, значит, (11) - верное равенство.

Лемма доказана.

Далее рассмотрим свойства ДПФ.

Теорема 2. Пусть Тогда

(12)

Доказательство. Учитывая формулу (12) и тот факт, что матрица является симметрической и ортогональной, получим

Что и требовалось доказать.

Следствие. В условиях теоремы 2 справедливо равенство

(13)

Формула (13) называется равенством Парсеваля, а формула (12) – обобщённым равенством Парсеваля.

19