Реферат: Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

что соответствует (2). Что требовалось доказать.

Из теоремы 1 как следствие можно получить следующий результат.

Следствие. Справедливо равенство

(3)

Сформулируем свойства свёртки в виде теоремы.

Теорема 2. Свёртка коммутативна и ассоциативна.

Доказательство. Коммутативность , непосредственно следует из (3). Проверим ассоциативность. Возьмём три вектора и обозначим через их спектры.

24

Учитывая (2) и (3), получаем

Теорема доказана.

Преобразование называется линейным, если для любых и любых , имеет место равенство

В качестве примера линейного преобразования рассмотрим оператор сдвига , сопоставляющий вектору вектор с координатами

Преобразование называется стационарным, если

для всех

Из определения получаем

,

где - тождественный оператор.

Теорема 3. Преобразование будет линейным и стационарным тогда и только тогда, когда найдётся вектор , такой, что

при всех (4)

Доказательство.

Необходимость. Учитывая, что перепишем формулу (1) из § 2 в виде

Так как оператор линейный и стационарный, то получим