Реферат: Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
25
Допустив, что 
, приходим к равенству
Достаточность. Линейность сверточного оператора очевидна. Остается проверить стационарность. В силу коммутативности свертки
Далее запишем
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим операцию взятия конечной разности 
порядка:
Сначала покажем, что 
где
Согласно (1) из § 2 имеем
что и требовалось установить.
26
§ 7. Решение задачи оптимальной интерполяции
Допустим, что 
- натуральное число. Рассмотрим следующую экстремальную задачу:
(1)
В этой задаче требуется построить возможно более гладкий вектор, принимающий в узлах 
заданные значения 
а гладкость данного вектора характеризуется квадратом нормы конечной разности r – го порядка. Чаще всего рассматривается случай, когда r=2.
Проведём замену переменных
После чего перепишем задачу (1) в компонентах 
Этот процесс начнём с целевой функции. Как было показано в последнем примере предыдущего параграфа где 
определяется соответственно формулой (5) того же параграфа. Далее используя равенство Парсеваля и формулу из теоремы о свёртке, получаем
