Реферат: Теорема Безу

Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2 .

По следствию 3 , если многочлен P ( x ) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2 , то он делится без остатка на ( x – 4)² ( x + 2) , значит

P(x)/(x – 4)² (x + 2) = Q(x) ,

т.е. P(x) = (x – 4)² (x + 2)Q(x) =

= (x² – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

= (x³ – 8x² + 16x +2x² – 16x + 32)Q(x) =

= (x³ – 6x² + 32)Q(x).

( x ³ – 6 x ² + 32) - кубический многочлен , но по условию P ( x ) – также кубический многочлен, следовательно , Q ( x ) – некоторое действительное число .

Пусть Q ( x ) = 1 , тогда P ( x ) = x ³ – 6 x ² + 32 .

Ответ: x ³ – 6 x ² + 32 .

Пример 10.

Определите a и b так , чтобы -2 было корнем многочлена P( x) = x ⁵ + a x ² + bx + 1 , имеющим по крайней мере кратность два .

Если -2 – корень многочлена P ( x ) кратности два , то по следствию 3 P ( x ) делится на ( x + 2)² без остатка ( R = 0)

( x + 2)² = x ² + 4 x + 4

_x⁵ + a x² + bx + 1 x² + 4x + 4

x⁵ + 4x⁴ + 4x³ x³ – 4x² + 12x – (a + 32)

_-4x⁴ –4x³ –ax² +bx+1

-4x⁴ – 16x³ – 16x²

_12x³ + (16 – a)x² + bx + 1

12x³ +48x² + 48x

_-(a + 32)x² + (b – 48)x + 1

-(a + 32)x² – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =

= (4a +b + 80)x + 4a + 129

НоR = 0 , значит

(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 прилюбыхx .

Это возможно при условии , что