Реферат: Теорема Безу

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней .

Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n ( x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно .

Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .

Следствие 5 :

Для любого многочлена P ( x )

и числа a разность

( P ( x )- P ( a )) делится без

остатка на двучлен ( x - a ) .

Доказательство :

Пусть P ( x ) – данный многочлен степени n , a - любое число .

Многочлен P n ( x ) можно представить в виде : P n ( x )=( x - a ) Q n -1 ( x )+ R ,

где Q n -1 ( x ) – многочлен , частное при делении P n ( x ) на ( x - a ) ,

R – остаток от деления P n ( x ) на ( x - a ) .

Причём по теореме Безу :

R = P n (a) , т.е.

P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .

Отсюда

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка ( P n ( x ) – P n ( a ) )

на ( x - a ) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем

многочлена P ( x ) степени

не ниже первой тогда и

только тогда , когда

P ( x ) делится на ( x - a )