Реферат: Теорема Безу
Доказательство :
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .
1. Необходимость .
Пусть a – корень многочлена P ( x ) , тогда по следствию 2 P ( x ) делится на ( x - a ) без остатка .
Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) , т.к. является следствием из этого .
2. Достаточность .
Пусть многочлен P ( x ) делится без остатка на ( x - a ) ,
тогда R = 0 , где R – остаток от деления P ( x ) на ( x - a ) , но по теореме Безу R = P ( a ) , откуда выходит , что P ( a ) = 0 , а это означает , что a является корнем P ( x ) .
Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) .
Делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P ( x ) , что и требовалось доказать .
Следствие 7(авторское) :
Многочлен , не имеющийй действи-
тельных корней , в разложении
на множители линейных множителей
не содержит .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P ( x ) при разложении на множители содержит линейный множитель ( x – a ) :
P(x) = (x – a)Q(x) ,
тогда бы он делился на ( x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P ( x ) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,
не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .
На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:
1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка :
ПустьP(x) = xn , P(a) = an ,
тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) ,
а это значит , что
(xn –an )/(x–a)=Q(x) , т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак