Реферат: Теорема Безу

Следствие 2 :

Если число a является корнем

многочлена P ( x ) , то этот

многочлен делится на ( x - a ) без

остатка .

Доказательство :

По теореме Безу остаток от деления многочлена P ( x ) на x - a равен P ( a ) , а по условию a является корнем P ( x ) , а это значит , что P ( a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P ( x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .

Следствие 3 :

Если многочлен P ( x ) имеет

попарно различные корни

a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на

произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )

без остатка .

Доказательство :

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на ( x - a 1 )( x - a 2 ) … ( x - a k ) , где

a 1 , a 2 , … , a k - егокорни .

Пусть P ( x ) имеет k +1 попарно различных корней .По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение ( x - a 1 ) … ( x - a k ) , откуда выходит , что

P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).

При этом a k +1 – корень многочлена P ( x ) , т. е. P ( a k +1 ) = 0 .

Значит , подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство :

P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =

=0 .

Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q ( a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q ( x ) . А из следствия 2 выходит , что Q ( x ) делится на x - a k + 1 без остатка .

Q ( x ) = ( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=( x - a 1 ) … ( x - a k )( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) .

Это и означает , что P ( x ) делится на ( x - a 1 ) … ( x - a k +1 ) без остатка .

Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .