Реферат: Теорема Безу
2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .
ПустьP(x) = x2k , тогда P(a) = a2k .
Разность одинаковых чётных степеней x 2 k - a 2 k равна P ( x ) – P ( a ) .
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т . е . x2k - a2k = P(x) – P(-a).
По следствию 5
P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x)
а это значит , что
x2k – a2k = (x + a)Q(x) или
(x2k – a2k )/(x + a) = Q(x) ,
т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k – a2k )/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2 x + a2k-1 .
3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .
Пусть P ( x ) = x 2 k +1 - a 2 k +1 – разность одинаковых нечётных степеней .
По теореме Безу при делении x2 k +1 - a2 k +1 на x + a = x – (- a ) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .
4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .
Пусть P ( x ) = x 2л+1 , P (- a ) = (- a )2л+1 = -а2л+1 ,
тогда P ( x ) – P (- a ) = x 2 k +1 + a 2 k +1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1 = (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x),
а это значит , что
(x2k+1 + a2k+1 )/(x + a) = Q(x) ,
т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k+1 + a2k+1 )/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1 x + a2k .