Реферат: Теория случайных чисел

Такие величины, делящие ранжированный ряд значений СВ на несколько равных частей, называются квантилями .

Под p% квантилями понимаются такие значения признака в ранжированном ряду, которые не больше p% наблюдений.

Предельные теоремы теории вероятностей

Делятся на две группы: Закон Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральная Предельная Теорема (ЦПТ).

Закон Больших Чисел устанавливает связь между абстрактными моделями теории вероятностей и основными ее понятиями и средними значениями, полученными при статистической обработке выборки ограниченного объема из генеральной совокупности. P, F(x), M(x), D(x).

ЗБЧ доказывает, что средние выборочные значения при n®¥ стремятся к соответствующим значениям генеральной совокупности: h_n (A)®P, X_ср ®M(X), s_ср ² ®D(X), F^* (X)®F(X).

Лемма Маркова . Если Y – СВ, принимающая не отрицательные значения, то для любого положительного e:

P(Y³e)£M(x)/e, P(Y<e)³1-M(x)/e.

Доказательство . Рассмотрим Y и : Y_e £Y, M(Y_e )£M(Y)

M(Y_e )=0×P(Y<e)+e×P(Y³e)=e×P(Y³e)

M(Y)³M(Y_e )=e×P(Y³e).

Лемма позволяет сделать оценку вероятности наступления события по математическому ожиданию этой СВ.

Неравенство Чебышева . Для любой СВ с ограниченными первыми двумя моментами (есть МО и D) и для любого e>0:

Доказательство . По лемме Маркова: рассмотрим не отрицательную СВ Y

Y=(X-m)² M(Y)=M(X-m)² =D(x)

P(|X-m|³e)=P((X-m)² ³e² )=P(Y³e² )£M(Y)/e² =D(x)/e² .

Требуется только знание дисперсии СВ при любом законе распределения.

ЗБЧ в форме Чебышева . X₁ , X₂ , …, X_n – последовательность независимых СВ. Для любого e>0 и n®¥:

ЗБЧ в форме Бернулли . m – число успехов в серии из n последовательных испытаний Бернулли. P – вероятность успеха в каждом отдельном испытании. e>0:

ЗБЧ носит чисто качественный характер. В тех же условиях неравенство Чебышева позволяет получить количественную характеристику оценки вероятности.

Пример . Для определения вероятности события проведено 40000 опытов. События наблюдалось в m=16042 случаях. За вероятность события принимается относительная частота наступления события: m/n»0,4. Применяя неравенство Чебышева, оценить, с какой вероятностью можно гарантировать, что число 0,4, принятое за вероятность, отличается от истинной вероятности не больше, чем на 0,05.

Неизвестные p и q находим из системы уравнений:

=>

Центральная предельная теорема Ляпунова .

Предмет внимания этой теоремы – распределение суммы большого числа СВ.

X=(x₁ +x₂ +…+x_n )/n

Распределение суммы n независимых СВ в независимости от их законов распределения асимптотически сходятся к нормальному закону при неограниченном числе слагаемых и ограниченных двух первых моментах (МО и D).

Если s_i ² =s² , то s_х ² =s² /n, .

D(x)=s_х ² =(s₁ ² +s₂ ² +…s_n ² )/n²

ЦПТ универсальны и справедливы как для НСВ, так и для ДСВ.

P(a<X<b)=Ф(t₂ )-Ф(t₁ ).

t₂ =(b-m_x )/s_x t₂ =(a-m_x )/s_x

S_n =(X₁ +X₂ +…+X_n )/n

P(|S_n -m|<zs)=2Ф(z)

M(xk)=m D(xk)=s²

ЦПТ в интегральной форме Муавра-Лапласа .

Статистическое оценивание параметров распределения

Мы анализируем только выборки из генеральной совокупности. По средне выборочным параметрам находим параметры самой генеральной совокупности.

Задачи такого рода решаются методами проверки статистических гипотез и статистической оценки параметров распределения.

Прежде нужно получить и провести первичную обработку исходных экспериментальных данных.

Статистические ряды часто изображают графически в виде полигона, гистограммы, кумулятивной кривой F^* (x).