Реферат: Теория вероятности

Вероятность события Е, которое может произойти только при появлении одного из событий , составляющих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события Е.

По условию достоверным является появление одного из событий или или или . По теореме умножения вероятностей:

Но так как все эти события не совместны, вероятность появления одного из них определяется по теореме сложения вероятностей.

Пример : На плодоовощную базу поступило 4 партии картофеля. В первой партии – 95% доля стандартных клубней, во второй – 97%, в третьей – 94%, в четвертой – 91%. При этом доля первой партии в общем объеме поставок – 28%, второй – 31%, третьей – 24%, четвертой – 17%. Определить вероятность того, что магазину, заказавшему товар, достанется стандартная продукция.

Полученный результат характеризует математическое ожидание или вероятность поставки стандартной продукции в магазин. Фактически это долевая средняя, показывающая среднюю долю стандартных клубней в четырех партиях.

7. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Как уже отмечалось, практически любое утверждение в статистике рассматривается как гипотеза, то есть некоторое предположение о наличии, форме, тесноте взаимосвязей.

Предположим, событие Е наступает только при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу. Допустим, в результате испытания событие Е произошло, то есть достоверным стало одно из событий или или или .

Каждое из этих событий рассматривается как гипотетическое и его вероятность как раз определяется по формуле Байеса .

Предыдущий пример : Известно, что в магазин поставлен стандартный картофель. Какова вероятность того, что он из четвертой партии.

Таким образом, только в 16-ти случаях из 100 доставленная в магазин стандартная продукция окажется из четвертой партии.

Применение формулы Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез по результатам испытаний, в следствие которых появилось событие Е.

Достоинство формулы Байеса в том, что она может применяться при отсутствии сведений о числе элементарных исходов, достаточно знать вероятности или частости событий.

8. Независимые события. Биномиальное распределение.

Предположим событие Е во всех случаях имеет одну и ту же вероятность , тогда вероятность противоположного события будет так же постоянна и может определяться по формуле .

Такой подход позволяет рассматривать практически любое пространство элементарных событий, как дихотомно е (то есть состоит из противоположных событий).

Допустим, необходимо определить вероятность появления события Е ровно k раз в n независимых испытаниях. В этом случае событие противоположное Е произойдет n-k раз. Отобрать k-элементов из n можно различными способами, каждый из которых несовместное событие, появление которого это результат игры случая.

В математике доказано, что число различных комбинаций из n элементов по k определяется по формуле:

, ! это произведение натурального ряда чисел, каждое из которых больше предыдущего на 1 (начиная с 1).

В соответствии с теоремой умножения вероятностей вероятность появления одной из возможных комбинаций определяется по формуле: