Реферат: Умова перпендикулярності прямих
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
де , , ( j = <(a,b) ) ,
причому а, b, с - права трійк.
Якщо і , то , де
i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с .
Якщо , , , то
14
.
VI. Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z ) простору Оху z є:
x=rx , y=ry , z=rz , деr= - радіус-вектор точки М .
2. Довжина та напрям вектора а= {ax ,ay ,az } визначаються формулами: ;
cos a =ax /a; cos b =ay /a; cos g =az /a,
(cos2 a +cos2 b +cos2 g =1),
де cos a , cos b , cos g - напрямні косинуси вектора а .
3. Відстань між двома точками M1 (x1 ,y1 ,z1 ) i M2 (x2 ,y2 ,z2 ) :
.
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C} ¹ 0 , що проходить через точку M0 (x0 ,y0 ,z0 ) є N * (r-r0 )=0, …(1)
де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0 .
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0 )+В(у-у0 )+С( z-z0 )=0 абоAx+By+Cz+D=0 (2)
де D= -Ax0 -By0 -Cz0 (згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1 (x1 ,y1 ,z1 ) до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0 +st (3)
15
де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0 {x0 ,y0 ,z0 } - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p} ¹ 0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (- ¥ <t<+ ¥ ) .
В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
.
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=N * N ¢ , де N={A,B,C} , N ¢ ={A ¢ ,B ¢ ,C ¢ } .
8. Рівняння сфери радіуса R з центром ( x0 ,y0 ,z0 ) :
.
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c :
.
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі О z :
x2 +y2 =2pz .
VII. Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y) :
,
або
Аналогічно визначається неперервність функції f ( x, y, z ) .
2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у :
16
11. Визначник третього порядку:
де - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х= D х/ D ; у= D у/ D ; z= D z/ D ,
де
.
13. Розв’язок однорідної системи , якщо