Реферат: Умова перпендикулярності прямих

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x= М ln x, де М= lg e=0,43429…

4. Приріст функції у= f(x), що відповідає приросту аргументу х :

5. Умова неперервності функції у= f(x) :

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y ^/ = f ^/ (x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y) , розповсюдженим на область S , називається число:

, (1)

де (х_і , у_і ) є D S_i ( і=1, 2,… n) і d – найбільший діаметр комірок D S_i .

Якщо f(x, y) ³ 0 , то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y) .

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a £ x £ b , y₁ (x) £ y £ y₂ (x) ,

де y₁ (x),y₂ (x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r ,

де x=r cos j , y=rsin j має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:a £ j £ b , r₁ ( j ) £ r £ r₂ ( j ), то

4. Якщо r = r (х, у) – поверхнева густина пластини S , то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r =1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:

,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами: , , (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r =1 .

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V , називається число:

, (4)

де ( x_i , y_i , z_i ) є D V_i (i=1, 2, 3,…n) , d – найбільший діаметр комірок D V_i .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V .