Реферат: Умова перпендикулярності прямих
9. Таблиця 2 .
Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).
| № п/п | Права частина f(x) | Випадки | Частинний розв ¢ язок |
1 | f (x)=aemx (a,m - сталі) | 1) m2 +pm+q ¹ 0 , 2) m2 +pm+q=0 : a) p2 -4q>0 , b) p2 -4q<0 . | z=Aemx , --------- z=Axemx , z=Ax2 emx . |
| 2 | f(x)=Mcos w x+Nsin w x (M,N, w - сталі, w ¹ 0 ) | 1) p2 +(q- w 2 )2 ¹ 0 , 2) p=0, q= w 2 . | z=Acos w x+Bsin w x, z=x(Acos w x+Bsin w x) |
| 3 | f(x)=ax2 +bx+c (a,b,c – сталі) | 1) q ¹ 0, 2) q=0, p ¹ 0 . | z=Ax2 +Bx+C, z=x(Ax2 +Bx+C). |
A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.
Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y) , взятий по кусково гладкій кривій К :x=x(t) , y=y(t) (t є [ a , b ]) , дорівнює
(1)
Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) ( a £ x £ b ) , то
23
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К .
Якщо f(x, y ) є лінійна густина лінії К , то інтеграл (1) являє собою масу лінії К .
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у) , взятий по кусково гладкому шляху К :x=x(t), y=y(t) (t є [ a , b ]) , визначається за формулою:
(2)
Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [ a , b ] ) , то
.
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К .
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К .
3. Якщо виконується умова Х(х, у) dx+Y(x, y)dy=dU(x, y) , то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і
, (3)
де (х1 ,у1 ) – початкова точка шляху і (х2 ,у2 ) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y) .
24
графіка функції у= f(x) в точці з абсцисою х .
Правила і формули диференціювання:
а) C ¢ =0; б) (U+V-W) ¢ =U ¢ +V ¢ -W ¢ ;
в) (CU) ¢ =CU ¢ ; г) (UV) ¢ =U ¢ V+V ¢ U;
д) е)
є) ; и) (х n ) ¢ = n xn-1 , x ¢ =1;
і) ( sin x ) ¢ =cos x; ї) ( cos x ) ¢ =-sin x;
й) ( tg x ) ¢ =sec2 x; к) ( с tg х ) ¢ =-cosec2 x;
л)м) (а x ) ¢ =ax ln a, (ex ) ¢ =ex .
н) (а rcsin x ) ¢ = o) (arccos x) ¢ = ;
п) ( arctg x ) ¢ = р) (arcctg x) ¢ =
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x2 )-f(x1 )=(x2 -x1 )f ¢ / ( x ), де x є (х1 ,х2 ).
8. Функія у= f(x) зростає, якщо f ¢ / (x)>0 ,і спадає, якщо f ¢ (x)<0 .
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :
якщо границя з права існує.