Реферат: Уравнения математической физики

Если , то:

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: .

Если , то : .

Свойства функции :

- срезающая функция.

Пространство .

Определение.

Пусть . Назовём множество функций , пространством , если:

- - измеримы в Q;

- в смысле Лебега.

Вводится . Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

- полное пространство.

Вводится .

Свойства пространства .

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве :

.

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в .

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в .

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.