Реферат: Вычислительные методы алгебры (лекции)

Правило 3. При возведении приближенного значения в квадрат или куб, при извлечении квадратного или кубического корня, в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание.

Правило 4. Если число является результатом промежуточных действий, то следует сохранить в нем на 1-2 цифры больше, чем указано в правилах 1-3.

§4. Связь между числом количества верных цифр

и относительной погрешностью.

Пусть .

Определение. Цифра приближенного значения а называется верной, если модуль его погрешности не превосходит половины единицы этого разряда.

.

Очевидно, что все цифры, стоящие слева от верной цифры – верные.

Пример. Пусть х=27,421, а=27,381, .

Выясним, какие цифры верные в приближении а?

4 – , следовательно, 4 – неверная;

8 – , следовательно, 8 – неверная;

3 – , следовательно, 3 – верная.

3,2,7 – верные цифры.

Пусть известно количество n верных значащих цифр в приближении а, тогда а запишем:

.

Так как цифра, стоящая в разряде -(n-1) верна, то погрешность

,

тогда .

В качестве границы относительной погрешности можно взять .

Итак, доказана теорема 1.

Теорема 1. Если приближение имеет n верных значащих цифр, то число является границей его относительной погрешности.

Теорема устанавливает связь между числами верных значений и его относительной погрешностью.

Замечание. Пусть приближение имеет n верных значащих цифр и – его первая значащая цифра, тогда число является границей относительной погрешности.

Пример. .

Итак, граница относительной погрешности приближенного значения зависит от первой значащей цифры , количества верных цифр приближения, но не зависит от порядка приближения.

Теорема 2. Если граница относительной погрешности приближения равна , то приближение имеет не менее n значащих цифр.

Доказательство. Пусть