Реферат: Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

2) ряд расходится, если расходится несобственный интеграл (1)

◄ Возьмем на графике функции f(x) точки с абсциссами

x1=1, x2=2, x3=3, … , xn = n

и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна

.

Возьмем n-ю частичную сумму ряда :

S n = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) ,

Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет равна

Q+= f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1) = S n-1

А площадь Q- входящей фигуры равна

Q- = + f(2) + f(3) + … + f(n) = S n - f(1).

Из построения и свойств функции f(x) следует, что

Q- < Q < Q+ , т.е.

S n - f(1) < < S n-1.

Так как S n-1 < S n (в силу условия ), то

S n - f(1) < < S n, n =1,2, … . (2)

1) Пусть интеграл (1) сходится. Тогда существует предел

,

так как

(в силу условия f(x) > 0 для , то из неравенства (2) следует, что

S n < f(1) + ≤ f(1) + A = M = const,

т.е. 0 < S n < M для n = 1, 2, … .Тем самым, последовательность {S n} ограничена, и при возрастании n сумма S n возрастает, так как f(n ) > 0 для n = 1, 2, … . Поэтому она имеет предел

,

Что означает сходимость ряда .

2) Пусть интеграл (1) расходится. Так как по условию

f(x) > 0 для , то

= .