Реферат: Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

◄ Возьмем четную частичную сумму S2n этого ряда и запишем ее в виде

S2n = (a1 – a2) + (a3 – a4) + … + (a2n-1 – a2n).

Из условия теоремы следует, что разности в скобках положительны и, значит, S2n > 0,

причем с возрастанием n частичная сумма S2n возрастает. Эту сумму можно записать

и так:

S2n = a1 – (a2 – a3) – (a4 – a5) – … – (a2n-2 – a2n-1) – a2n.

Здесь каждая скобка положительна, откуда следует, что

S2n < a1 (n = 1, 2, … ).

Итак, последовательность { S2n } монотонно возрастает и ограничена. Следовательно,

она имеет предел

,

причем

Для нечетной частичной суммы S2n+1 будем иметь

S2n+1 = S2n + a2n+1 (n = 1, 2, … ).

По доказанному

,

А по условию теоремы

Поэтому существует предел

.

Таким образом, доказано, что

,

т.е. данный ряд сходится. Из неравенства следует, в частности, положительность суммы ряда. ►

Замечание. Теорема остается справедливой в части сходимости, если условие монотонности последовательности { an } будет выполняться для всех номеров n, начиная с некоторого номера N.

Пример. Знакочередующийся ряд

сходится, так как

и