Шпаргалка: О теории вероятностей

Если А₁ ,А₂ , …, А_n - попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие2.

Вероятность суммы попарно несовместных событий А₁ ,А₂ , …, А_n , образующих полную группу, равна 1.

Следствие3.

События А и `А несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

Р(А +`А) = Р(А) + Р(`А) = 1. Отсюда Р (`А) = 1 – Р(А).

Теорема2.

Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р (А+В) = Р(А)+Р(В) – Р (А*В).

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

Теорема3.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей Р(А*В)=Р(А)*Р(В).

Следствие.

Вероятность произведения n независимых событий А₁ ,А₂ , …, А_n равна произведению их вероятностей.

Условной вероятностью события В при условии, что событие А уже произошло, называется число Р(АВ)/Р(А)=Р(В/А)Р_А (В).

Теорема4.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности наступления события А на условную вероятность события В при условии что событие А уже произошло:

Р(А*В) =Р(А)*Р(В/А).

Следствие.

Если события А и В независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.

Событие В не зависит от события А, если Р(В/А) = Р(В). Теорему 4 можно обобщить на n событий.

Теорема5.

Вероятность произведения n зависимых событий А₁ ,А₂ , …, А_n равна произведению последовательных условных вероятностей:

Р(А₁ *А₂ *…*А_n-1 *A_n )= P(A₁ )*P(A₂ /A₁ )*...*P(A_n /A₁ *A₂ *...*A_n-1 ).

Теорема6.

Вероятность наступления хотя бы одного из событий А₁ ,А₂ , …, А_n равна разности между единицей и вероятностью произведении отрицаний событий А₁ ,А₂ , …, А_n :

Р(А)=1-Р(`А<sub>1</sub> *`А₂ *…*`А<sub>n</sub> )=1- P(`A₁ )*P(`A<sub>2</sub> /`A₁ )*...*P(`A<sub>n</sub> /`A₁ *`A<sub>2</sub> *...*`A_{n -1} ).

Следствие1.

Вероятность наступления хотя бы одного из событий А₁ ,А₂ , …, А_n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: