Шпаргалка: О теории вероятностей

Свойства математического ожидания:

1) М(С)=С, где С=const;

2)М(СХ) = СМ(Х);

3) M(X±Y) = М(Х) ± M(Y);

4) Если случайные величины X и Y, независимы, то M(XY) = M(X)*M(Y).

Для биномиального распределения М(Х)=nр;

для геометрического распределения М(Х)= 1/р;

для распределения Пуассона М(Х)=λ;

для гипергеометрического распределения М(Х) = n(M/N).

12. Дисперсия ДСВ и ее свойства

Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

D(X) = M(x-M(X)² ) = =(х₁ -М(Х))² р₁ +(х₂ -М(Х))² р₂ +....+(x_n -М(Х))² р_n .(2.3.2)

Свойства дисперсии:

1) D(С) = 0, где С=соnst;

2) D(CX)=C² D(X);

3) D(X)=M(X² )-(M(X))² , где М(Х² ) = х² ₁ р₁ + x² ₂ p₂ + ...+ х² _n р_n ;

4) Если СВ X и Y независимы, то D(X±Y)=D(X) + D(Y);

5) D(OX)=D(X);

6) Для любых СВ X и Y, D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y), где cov(X,Y)=M((X-m_x )(Y-m )) - ковариация случайных величин X и Y (М(Х)= m_x , M(Y)= m).

Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения ДСВ, поэтому на практике часто используют в качестве характеристики разброса среднее квадратическое отклонение σ(Х)= √D(X) , которое имеет ту же размерность, что и СВ X.

Для биноминального закона

D(X)=npq, σ(X)=√npq;

для геометрического закона D(X)= q/p² ;

для гипергеометрического D(X)=n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1);

для распределения Пуассона D(X)=λ.

Только для распределения Пуассона M(X)=D(X)= λ.

13. Показательное распределение.

НСВ X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция имеет вид