Шпаргалка: О теории вероятностей

Интегральная функция показательного закона с параметром λ:

Рис. Показательный закон

Если СВ X распределена по показательному закону, то:

1. Математическое ожидание М(Х) = 1/λ ;

2. Дисперсия D(X)=1/λ² , среднее квадратическое отклонение

σ(X)=√D=1/λ.

3. Вероятность попадания СВ X в заданный интервал определяется по формуле

Р(а≤х<b) = е^-λа -е^{-λ b} .

Замечание. Показательное распределение играет большую роль в теории массового обслуживания (ТМО), теории надежности. В ТМО параметр X - среднее число событий, приходящихся на единицу времени. При определенных условиях число событий, произошедших за промежуток времени т, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а =λτ. Длина промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется показательному закону: P(T<t)=F(t)=l-e^λt .

14. Закон распределения дискретной случайной величины

1. Биномиальный закон распределения. Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5,...,n, с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли:

2. Закон распределения Пуассона. Случайная величина X принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., к,... , с вероятностью, определяющейся по формуле Пуассона:

где Х>0 - параметр распределения Пуассона.

При n→∞ и р→0 биномиальный закон приближается к закону распределения Пуассона, где λ, = np.

Геометрический закон распределения. Пусть Р(А)=р - вероятность наступления события А в каждом опыте, соответственно, q=l-p - вероятность не наступления события А.

Вероятность наступления события А в к-ом опыте определяется по формуле:

P(X=k)=p-q^{k -1} . (2.2.2.)

Случайная величина X, распределенная по геометрическому закону принимает значения 1, 2,...,к,... , с вероятностью, определяемой по формуле (2.2.2):

4. Гипергеометрический закон распределения. Пусть в урне N-шаров, из них М белых, а остальные (N - М) черные. Найдем вероятность того, что из извлеченных n шаров m белых и (n-m) черных.

N= М + (N-M); n = m + (n-m);

С^m _M - число способов выбора m белых шаров из М;

С^{n - m} _{N - M} - число способов выбора (n-m) черных шаров из (N-M).

По правилу произведения, число всех возможных наборов из m белых и (n-m) черных равно С^m _M С^{n - m} _{N - M} ;