Шпаргалка: Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№1 Функциональные ряды

Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х : U₁ (x )+ U ₂ ( x )+…+ U_n ( x )+… Придавая х какое-либо значение х₀ из области определения функций U_n ( x ), получим числовой ряд U ₁ ( x ₀ )+ U ₂ ( x ₀ )+…+ U_n ( x ₀ )+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х₀ ряд расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [ a , b ], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b ₁ + b ₂ +…+ b_n +…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х , принадлежащего сегменту [ a , b ], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. | U_n ( x )| ≤ b_n ( n =1, 2, …)

№2 Неопределенный интеграл и его свойства

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№3 Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,

^{x →0± a}

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim(y/x) ; b = lim (y – Rx)

^{x →0 x →0}

Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.

№4 Экстремум функции (для одной переменной)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х, не равных х₀ из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х₀ ), где х₀ – точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х₀ , то ее производная в этой точке равна 0.

Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х₀ – точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х₀ – точка минимума.

№5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.

Физический: производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.

Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен значению производной этой функции в точке х₀ .

№6 Замечательные пределы

lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e – экспонент)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--