Шпаргалка: Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№7 Точки разрыва функции, классификация

Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке х₀ функция не определена, или не существует предел функции при х → х₀ , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х₀ : lim f(x) ≠ f(х₀ ). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,

^x→x 0

если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). ^{x → x} 0^{-0 x → x} 0⁺⁰

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).

№8 Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

– функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

– функция имеет предел при x→x₀ ,

– предел функции при x→x₀ равен значению функции в точке x₀ : lim f(x) = f(х₀ )

^x→x 0

Если в точке х₀ функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀ справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ . Если lim f(x) = f(х₀ ), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f(x) = f(х₀ ),

^x→x 0^{+0 x→x} 0^{- 0}

то функция называется непрерывной в точке x₀ слева.

№9 Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n } сходящейся к x₀ , последовательность F({ x_n }) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

^{x → x} 0

№10 Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x₀ |< δ, x≠x₀ выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

№11 Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности x_n , если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | x_n -a|<E. В этом случае обозначают так lim x_n = a

^{n →∞}

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a; lim у_n = b, тогда

^{n →∞ n →∞}

– lim (x_n ± у_n ) = a±b;

^{n →∞}