Шпаргалка: Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики
Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.
Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.
№23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда
Признак Даламбера:
Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение Un +1 /Un последующего члена к предыдущему при n→∞ имеет предел q. Возможны три случая:
q<1 –ряд сходится; q>1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может и расходиться.
№24 Производные обратных тригонометрических функций.
I. d arcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2
II. d arccos x = - dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= - 1/(1-x^2)^1/2
III. d arctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)
IV. d arcctg x = - dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = - 1/(1+x^2)
№25 Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.
№26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x’(t)≠0.
Найдем производную у’x . Как мы знаем у’x = dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то
y’x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.
Таким образом, dy/dx = y’t/x’t. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.
№28 Дифференциал функции.
Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ∆y = A ∆x+α, где А не зависит от ∆x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).
Тогда первый член, пропорциональный ∆x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
№29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.
№30 Площадь криволинейной трапеции.
|
|
|
равна
|
|