Математика / Шпаргалка: Ряды

Шпаргалка: Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х₁ ;у₁ ) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (x_i ;y_i ) ставится в соот-е число W_i или любой точке (x_i ;y_i ) или паре чисел ставится в соот-е z_i след-но z_i =F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (х_i ;у_i ) и нашли соот-е значения z_i =F(х_i ;у_i ).

Пусть точка (х₀ ;у₀ )ÎЕ дельта окрест-ю точки (х₀ ;у₀ ) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х₀ )+(y-y₀ )] <d.

Точка (х₀ ;у₀ ) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.

Точка (х₀ ;у₀ ) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х₀ ;у₀ )Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.

Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z= f(х;у) при х®х₀ , у®у₀ , М(х;у)®М₀ . lim_х _{®х0 (у} _®у0) f(х;у)=A

Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х₀ ;у₀ ) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х₀ )² +(y-y₀ )² ] <d. êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e.

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+a_n ; lim Yn=b => Yn=b+b_n ;

Xn ± Yn = (a + a_n ) ± (b + b_n ) = (a ± b) + (a_n ± b_n ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+a_n )/(b+b_n ) – a/b = (ab+a_n b–ab–ab_n )/b(b+b_n ) =(ba_n -ab_n )/b(b+b_n )=g_n => Xn/Yn=a/b+g_n => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.