Шпаргалка: Ряды
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
óóD f(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=
=óóD f(pcosj;psinj)pdpdj=
=j2 ój1 dj p2( j ) óp1( j ) (pcosj ;psinj)pdp.
Геометрическое приложение двойного интеграла.
Площадь плоской поверхности.
óóD f(x,y)dxdy=SD
2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма
DVi=n åi =1 f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
limmax di ® 0 n åi =1 f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил
Площадь поверхности.
Sпов. = óó[Ö1+(dz/dx)2 +(dz/dy)2 dxdy].
Диф-е ур-я (осн понятия).
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn )=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn )=0 наз порядковым ур-ем.
Решением ур F( x; y; y’;у”…у n )=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn )=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)n )=0.
Фун вида у=j(х;С1 ;С2 ;…Сn ) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn )=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1 ;С2 ;…Сn ; 2) для любых начальных усл х0 , у0 , у’ 0 , уn 0 можно найти конкретную совокупность С1 0 ;С2 0 ;С3 0 ;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1 0 ;С2 0 ;С3 0 ;…Сn 0 ), что эта фун будет удвл начальному условиям.
Соот-е вида j(х;С1 ;С2 ;С3 ;…Сn )=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn )=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn )=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).
Дифф. ур. 1-го порядка
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур . наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением , если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)
{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0
∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-PdxlnC1+lnV=-∫Pdx