Шпаргалка: Ряды
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x =0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];
Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]
Двойной интеграл.
Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1 ,DS2 ,DS3 …DSn ). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1 ,P2 ,P3 …Pn ). f(Pi ) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi )DSi . Vn =n åi=1 f(Pi )DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.
Опр: Предел limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi интегральной суммы n åi=1 f(Pi )DSi , если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек Pi ÎDi наз двойным интегралом зад фун z= f( x; y) по обл D.
Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi
т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi =óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶
Св-ва:
1)óóD (f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóD f1(x,y)dxdy+óóD f2(x,y)dxdy
2) óóD a f(x,y)dxdy=aóóD f(x,y)dxdy.
3) Если область D=D1 ÈD2 , то
óóD f(x,y)=óóD 1 f(x,y))+óóD 2 f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2 .
óóD f(Pi )DSi =óóD 1 f(Pi )DSi +óóD 2 f(Pi )DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1 , вторая – соот-е площадкам обл D2 . В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi . Переходя в равенство
óóD f(Pi )DSi =óóD 1 f(Pi )DSi +óóD 2 f(Pi )DSi к пределу при DSi ®0, получаем равенство
óóD f(x,y)=óóD 1 f(x,y))+óóD 2 f(x,y).·
4) Если фун f(x,y)=1, то óóD 1dxdy=SD
5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть
óóD f(x,y)dxdy³(£)0
6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то
óóD f1(x,y)dxdy³óóD f2(x,y)dxdy
7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.
в óа ( j 2(x) ój 1(x) f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
Док-во: Из соот-я
mS£в óа (j 2(x) ój 1(x) f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID £MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .
Двукратный интеграл
Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в области D.
Рассмотрим ID =в óа f 2( x ) óf 1( x ) f(x,y)dydx=в óа Ф(х)dx
-это двукратный интеграл .