Шпаргалка: Ряды

3. f(x)=MCosbx+NSinbx

1)bi – не корень, y^* =ACosbx+BSinbx.

2)bi – корень, y^* =x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U₁ , U₂ ...U_n ,... Выражение U₁ +U₂ +...+U_n +... наз-ся числовым рядом ,

U₁ , U₂ ...U_n – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда : S_n = U₁ +U₂ +...+U_n .

Если сущ-ет конечный предел lim_{n ® ¥} S_n =S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел lim_{n ® ¥} S_n равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел lim_{n ® ¥} S_{n ,} то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во : S_n – сумма n первых членов ряда, C_k – сумма k отброшенных членов, D_{n - k} – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k . Тогда имеем: S_n =C_k +D_{n - k} , где C_k – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD_{n - k} , то сущ-ет и limS_n ; если сущ-ет limS_n , то сущ-ет limD_{n - k} , а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a₁ +a₂ +...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca₁ +ca₂ +...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S_n , а ряда (2) – через D_n . Тогда D_n =ca₁ +...+ca_n =c(a₁ +...+a_n )=cS_n . Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim D_n =lim(cS_n )=climS_n =cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a₁ +a₂ +...(5) и b₁ +b₂ +...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁ и S₂ , то ряды (a₁ +b₁ )+(a₂ +b₂ )+...(7) и (a₁ –b₁ )+(a₂ –b₂ )+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁ +S₂ и

S₁ –S₂ .

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D_n , а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S_{1 n} и S_{2 n} , получим: D_n =(a₁ +b₁ )+...+(a_n +b_n )=(a₁ +...+a_n )+(b₁ +...+b_n )=S_{1 n} +S_{2 n} . Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limD_n =lim(S_{1 n} +S_{2 n} )= limS_{1 n} +limS_{2 n} =S_{1 n} +S_{2 n} .

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S_{1 n} +S_{2 n} .

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU_n =0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U₁ +U₂ +...+U_n +... сходится, т.е. limS_n =Sn®¥, тогда имеет место равенство limS_{n -1} =S.

limS_n –limS_n-1 =0, lim(S_n –S_n-1 )=0. Но S_n –S_{n -1} =U_n следов-но limU_n =0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U₁ +U₂ +...+U_n +...(1), S_{1 n} ; V₁ +V₂ +...+V_n +...(2) S_{2 n} ; Известно,что V_n ³U_n при n³N₀ .

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.