Шпаргалка: Ряды
Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0 ,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.
Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0 ,y0 ), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0 , y=y0 . A=∂z(х0 ;у0 )/∂x; B=∂z(х0 ;у0 )/∂y.
Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0 ,y0 ) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.
Производные высших порядков.
∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2 z/∂x2 ;z`` xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;
∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z`` xy ;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z`` yx ; ∂φ/∂y=∂2 z/∂y2 ;z`` yy ;
Третья производная: ∂3 z/∂x3 ; ∂3 z/∂x2 ∂y; ∂3 z/∂x∂y¶х; ∂3 z/∂y∂x2 ; ∂3 z/∂y∂x∂y; ∂3 z/∂y2 ∂x; ∂3 z/∂y3 .
Производная сложной ф-ии.
z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).
z=f(x;u;v)=F(x)
Полная производная по х:
dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);
Полная производная по у:
dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);
Экстремумы фун 2 переменных.
Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0 (x0 ,y0 ), если f(x0 ,y0 )> f(x,y) {f(x0 ,y0 )<f(x,y)}для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0 ,y0 )и отличных от неё.
Определение max и min при предположении, что х=х0 +Dх и у=у0 +Dу, тогда
f(x;y)-f(x0 ;y0 )=f(х0 +Dх;у0 +Dу)-f(x0 ;y0 )=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0 (х0 ;у0 ); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0 (х0 ;у0 );
Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0 , y=y0 , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0 . Тогда ф-ия f(x,y0 ) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0 ,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0 , y=y0 или равно нулю или не сущ.
Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0 ,y0 ), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0 ,y0 ) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0 ,y0 )/∂x=0, ∂f(x0 ,y0 )/∂y=0.
Тогда при x=x0 , y=y0 :
1)f(x,y) имеет максимум, если
∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 >0 и ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 <0
2)f(x,y) имеет максимум, если
∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 >0 и ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 >0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 <0
4)Если ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 =0, то экстремум может быть, а может и не быть.