Шпаргалка: Ряды

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y^’’ +py^’ +qy=f(x), p,q – числа. y=c₁ y₁ +c₂ y₂ +y^* , где y₁ , y₂ – два лин-но незав. реш.

(1) y^’’ + py^’ +qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=e^kx k² +pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k_1,2 =(-p±Ö(p² -4q))/2, k₁ ¹k₂ y₁ =e^k ₁ ^x , y₂ =e^k ₂ ^x .

Т.к. y₁ /y₂ ¹const, то y=c₁ e^k ₁ ^x +c₂ e^k ₂ ^x .

2. D=0 k_1,2 =-p/2

y₁ =e^-px/2 , y₂ =y₁ ∫(e^{-- ∫ pdx} )/y₁ ² dx=e^-px/2 , y=e^-px/2 (c₁ +c₂ x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k_1,2 =a±bi, y₁ =e^{a x} Cosbx, y₂ =e^{a x} Sinbx, y₁ /y₂ ¹const, y=e^{a x} (c₁ Cosbx+c₂ Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=P_n (x)e^{a x} 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y^* =(A₀ xⁿ +A₁ x^n-1 ++...+A_n )=Q_n (x)e^{a x} .

a - однократный корень y^* =xQ_n (x)e^{a x} .

3) a - двукрат. корень y^* =x² Q_n (x)e^{a x} .

2. f(x)=p(x)e^{a x} Cosbx+q(x)e^{a x} Sinbx

1) a+bi – не корень y^* =U(x)e^{a x} Cosbx+V(x)e^{a x} Sinbx.