Шпаргалка: Ряды

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X₀ ≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X₀ |, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х₁ , то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х₁ |.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х₀ ≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Lim_{n ® ¥} U_n =Lim_{n ® ¥} C_n X₀ ⁿ =0. Значит последовательность |C_n X₀ ⁿ | Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |C_n X₀ ⁿ |<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С₀ |+ |C₁ X₀ ||Х/X₀ |+…+ |C_n X₀ ⁿ ||X/X₀ |ⁿ +…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X₀ |+…+М|X/X₀ |ⁿ +… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X₀ |<1, т.е. при|X|<|X₀ |, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X₁ | ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х₁ (т.к. |X|>|X₁ |), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости , а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать ?