Шпаргалка: Ряды

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x₀ ;у₀ ).

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х₀ ;у₀ )–1 род.

Если (х₀ ;у₀ )–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х₀ ;у₀ ) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке:1)Если фун f₁ (х;у) и f₂ (х;у) непрерывны в точке (х₀ ;у₀ ), то сумма (разность) f(х;у)=f₁ (х;у)±f₂ (х;у), произведение f(х;у)=f₁ (х;у)*f₂ (х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f₁ (х;у)/f₂ (х;у), есть непрер-я фун в точке х₀ ;у₀ .

Док-во (суммы): По определению получаем, что lim_{х ®х0(у ®у0)} f₁ (х;у)=f₁ (х₀ ;у₀ ), lim_{х ®х0(у ®у0)} f₂ (х;у)=f₂ (х₀ ;у₀ ) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)=lim_{х ®х0(у ®у0)} [f₁ (х;у)+f₂ (х;у)]=

=lim_{х ®х0(у ®у0)} f₁ (х;у)+lim_{х ®х0(у ®у0)} f₂ (х;у)=

=f₁ (х₀ ;у₀ )+f₂ (х₀ ;у₀ )=f(х₀ ;у₀ ). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х₀ ;у₀ , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀ =j(х₀ ;у₀ ), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х₀ ;у₀ ).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х₀ ;у₀ ) не выполняется условие lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)= f(х₀ ;у₀ ), то точка N(х₀ ;у₀ ) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие lim_{Dх ®0( Dу ®0)} f(х₀ +Dх;у₀ +Dу)=f(х₀ ;у₀ ) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х₀ ;у₀ ), за исключением самой точки N(х₀ ;у₀ ); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х₀ ;у₀ ), но не сущ-ет предела lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х₀ ;у₀ ) и сущ-ет предел lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у), но lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)¹f(х₀ ;у₀ ).

Классификация точек разрыва:

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х₀ ;у₀ ) – 1 род.

Если (х₀ ;у₀ ) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х₀ ;у₀ ) – 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х₀ ;у₀ …) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х₀ ;у₀ …)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х₀ ;`у<sub>0</sub> …) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х₀ ;`у₀ …)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка N^* (x^* ;y^* …), что будет выполн рав-во f(x^* ₀ ;y^* ₀ …)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. ∆_x z=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆_y z=f(x,y+∆y)-f(x,y).

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆_x z к приращ-ю ∆x при ∆x®0.

∂z/∂x=lim_{(∆x ®0)} ∆_x z/∆x=lim_{(∆x ®0)} (f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.

∂z/∂y=lim_{(∆y ®0)} ∆_y z/∆y=lim_{(∆y ®0)} (f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: d_x z(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и d_у z(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.