Шпаргалка: Ряды

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limU_n /V_n =L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $lim(U_{n +1} /U_n )=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³N, будет иметь место нер-во (U_{n +1} /U_n )<q (2^’ ). Действительно, т.к. величина U_{n +1} /U_n стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

|U_{n +1} /U_n – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2^’ ) для различных значений n, начиная с номера N, получим U_{N +1} <qU_{N ,}

U_{N +2} <qU_{N +1} < q² U_N

Рассмотрим теперь два ряда:

U₁ +U₂ +...+U_N +U_n+1 +... (1)

U_N +qU_N +q² U_N +... (1^’ ). Ряд (1^’ ) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с U_{N +1} , меньше членов ряда (1^’ ), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(U_{n +1} /U_n )=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (U_{n +1} /U_n )>1, или U_{n +1} >U_n для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limⁿ ÖU_n =L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

|ⁿ ÖU_n –L|<q–L; осюда следует, что ⁿ ÖU_n <q или U_n <qⁿ для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U₁ +U₂ +...+U_N +U_{N +1} +... (1) и q^N +q^{N +1} +q^{N +2} +... (1^’ ). Ряд (1^’ ) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с U_N , меньше членов ряда (1^’ ). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: ⁿ ÖU_n >1 или U_n >1. но если все члены рассматр ряда, начиная с U_N , больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ^¥ å_n=1 U_n , где члены ряда убывают U_n >U_{n +1} >0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=U_n .

Если не собственный интеграл ^¥ ò₁ f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ^¥ ò₁ f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁ >U₂ >U₃ … и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim _{n ® ¥} U_n =0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U₁ ³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S_2m =(U₁ -U₂ )+(U₃ -U₄ )+…+(U_2m-1 -U_2m ). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S_{2 m} имеет предел Lim_{m ® ¥} S_{2 m} =S. Переходя к пределу в неравенстве S_{2 m} <U₁ при m®¥, получим, что U₁ ³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S_{2 m+1} =S_{2 m} +A_{2 m+1} ; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim_{m ® ¥} S_{2 m+1} =

=Lim_{m ® ¥} S_{2 m} + Lim_{m ® ¥} А_{2 m+1} =S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim_{n ® ¥} Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + знакопеременный ряд (*), в котором любой его член U_n может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ^¥ å_n=1 ½U_n ½; |U₁ |+|U₂ |+…+|U_n |+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим S_n ⁺ и S_n ^- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда S_{n 1} =S_n ⁺ -S_n ^- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов S_{n 2} = S_n ⁺ +S_n ^- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Lim_{n ® ¥} S_{n 2} =S. Последовательности S_n ⁺ и S_n ^- являются возрастающими и ограниченными (S_n ⁺ ≤ SS_n ^- ≤ S ), значит существуют пределы

Lim_{n ® ¥} S_n ⁺ и Lim_{n ® ¥} S_n ^- , и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Lim_{n ® ¥} S_n1 =Lim_{n ® ¥} S_n ⁺ -Lim_{n ® ¥} S_n ^- , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U₁ |+|U₂ |+…+|U_n |+…сходиться, то ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + наз абс. сходящимся.

Если ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + сходиться, а ряд |U₁ |+|U₂ |+…+|U_n |+…расходиться, то ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.