Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если (1)

(2)

g - Пусть (где “ ,,- “ быть подкольцом ,,) .Покажем что (1) и (2) имеют место.

Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно (1) выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.

- Пусть , (1),(2) – выполнены. Покажем, что I – подкольцо, т.е. что I – кольцо.

Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I – замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что .

Рассмотрим условие (1). Пусть ,но , , ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I , следовательно, I – кольцо. Так как , то это подкольцо.

Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введём это понятие.

Опр. 6

Подкольцо I кольца K называется идеалом если для

В кольце с существует особый идеал: Такой идеал называется главным идеалом. Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным

Пусть К является областью целостности. Зададим на нём отношение “сравнения по идеалу I ”.

Опр.7

. Легко проверить, что “ “ – отношение эквивалентности:

1⁰ .т.к.а-а=0 Î I , то отношение рефлексивно

2⁰ . Если а º в ( mod I ) Þ а-в Î I Þ в-а Î I Þ в º а ( mod I) Þотношение симметрично

3⁰ .Если а º в ( mod I ) , в º c ( mod I) Þ а-в Î I, в-с Î I Þ (а-в)+(в-с)= а-с Î I Þ

а º c ( mod I) Þ отношение транзитивно.

Как известно, отношение эквивалентности задаёт разбиение.

К_а - класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е.

1) классы эквивалентности не пустые,

2) классы не пересекаются,

3) классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением

4) каждый элемент из K входит в один из классов

5) объединение классов вычетов совпадает с кольцом.

Множество классов вычетов {К_а / а К } называется фактор-множество.

Имеет место теорема о фактор-множестве.

Теорема 8

Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов