Математика / Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aÎA, bÎB}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={(a,b) /,a,bÎA}; aWb, a,bÎA; (a,b)ÎW,где a,bÎA

Например, бинарные отношения являются:

1. "^"на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " @ " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: "aÎA, aWa;

2) симметричность: "a,bÎA, aWbÞbWa;

3) транзитивность: "a,b,c ÎA,aWb и bWcÞaWc

4) связность: "a,bÎA,aWbÞbWa;

5) антирефлексивность: "aÎA,(a,a)ÏW;