Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 3. Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .

Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.

Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: "принадлежность одному подмножеству", то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.

Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством . Итак, A/w= { Ka /a ÎA } .

Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:

1. Hа множестве дробей {a/b, аÎZ, bÎN} зададим отношение "=": а/b=с/dÛad=bс.

Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.

2. Z, “º”: aºb(mod m)Û(a-b)Mm, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.

3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.

Вопрос 5 . Элементы теории групп .

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A¹Æ . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А®А, т.е. для "a,bÎA, ($!) cÎA:aob=c

Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o> с одной алгебраической операцией “ o ”,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1°."a,b,cÎG, ao(boc)=(aob)oc,

2°.$eG,"aÎG: eoa=aoe=a.

3°."aÎG, $a°ÎG:aoa°=a°oa=e.

e-нейтральный элемент относительно операции;

а°-симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:

коммутативный
	некоммутативный

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еÎG, $e₁ ,e₂ -нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e₁ e=ee₁ =e.

(2): e₂ e=ee₂ , откуда получим:

e₁ =e₁ e=e₁ ee₂ =ee₂ =e₂ , т.е. e₁ =e_2.

2. Пусть для aÎG, $a₁ ^-1 , a₂ ^-1 -обратный для а.

Рассмотрим (1): a₁ ^-1 a=aa₁ ^-1 =e