Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра
a1 -1 aa2 -1 =ea2 -1 =a2 -1 ,
a1 -1 aa2 -1 =a1 -1 e=a1 -1 Þa2 -1 =a1 -1 .
3. ax=b; aÎGÞ$a-1 : aa-1 =a-1 a=e. Домножим уравнение на a-1 :
a-1 ax=a-1 bÞex=a-1 bÞx=a-1 b.
Пусть уравнение имеет два решения x1 , x2 :
ax1 =b, ax2 =b-равенства, домножим на а-1 :
x1 =a-1 b, x2 =a-1 b.
В силу алгебраичности операции x1 =x2 , что и требовалось доказать.
Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.
Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .
Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1°."a,bÎK, ab,baÎK.
2°."aÎK, a-1 ÎK.
ÞG-группа, K Ì G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1°,2° выполнены.
ÜG-группа, K Ì G, 1°, 2°. Покажем, что K p G, т. е. К-группа.
Для доказательства необходимо проверить четыре условия:
1. Замкнутость К относительно групповой операции.
2. Ассоциативность этой операции.
3. Существование нейтрального элемента.
4. Существование для каждого элемента обратного.
Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КÌG. Проверим 3:
Т. к. "aÎK, $a-1 ÎK ,условие 1°, то аa-1 Î К. Но аa-1 = е, следовательно, еÎК, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).
Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.
Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:
aºb(mod K)Û ab-1 ÎK. Проверим, что отношение “º”-является эквивалентностью.
1).]aÎGÞ$ a-1 G, aa-1 =e, eÎKÞ aa-1 ÎKÞ aºa(mod K)Þ ”º”-рефлексивно.
2).]aºb(mod K)Þab-1 ÎK, (a-b-1 )-1 ÎKÞba-1 ÎKÞbºa(mod K)Þ”º”-симметрично.
3).]aºb(mod K), bºc(mod K)Þab-1 ÎK, bc-1 ÎKÞ (ab-1 )(bc-1 )ÎKÞ ac-1 ÎKÞ
aºc(mod K)Þ ”º”-транзитивно.