Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра
не обладает свойством обладает связностью
связности
Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WÌA*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.
Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.
Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.
Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.
Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹0 разбиение.
Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:
Ka ={x/xWa /x,aÎA} a-образующий элемент класса.
свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.
Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.
Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.
Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.
Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹0 разбиение.
Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:
a-образующий элемент класса.
Классы эквивалентности обладают свойствами:
1. " aÎA попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka ¹0 . Это утверждение следует из введенного определения класса.
2. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,cÎKa , b w c.
c,bÎKa Þ a w c, Þ c w a , Þ c w b
a w b a w b
Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.
3°. Классы не пересекаются, т.е. КаÇКb=Æ
Пусть КаÇКb¹Æ®$сÎКаÇКbÞсÎКа,сÎКbÞсWа,cWbÞаWс,сWbÞаWbÞКа=Кb.
Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A,W-эквивалентности ÞKa ,Kb ,...Þ
a) классы-подмножества A;
b) классы-неизвестного подмножества;
c) классы-не пересекающиеся;