Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы .

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t= 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t(1) t(2) …t(n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t^--1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1. Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=åsgn(t)a_{1 t (1)} a_{2 t (2)} …a_{n t (n) ,} A=(a_ij )_n*n [СС1]

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2 . Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1°. |A|=|A^t |,где А^t -трансионированная;

2°. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3°. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4°. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5°. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6°. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7°. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a₁ +...a_k b1+...b_k c₁ +....c_k ),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8°. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента a_ij (M_ij ) и его алгебраического дополнения (A_ij ) .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--